Wofür werden die Widerstände R5 und R6 benötigt?
R5 sorgt für eine Vorspannung der Gate-Eingänge von den MOSFET-Transistoren (dann bekommen die hinreichend Spannung und der Raspberry muss die nicht liefern). R6 bildet mit R5 zusammen einen 1:1 Spannungsteiler der dafür sorgt, dass am Gate der Mosfets maximal 8V anliegen (und nie die 16V Versorgungsspannung).
Und wie kann man das dann technisch umsetzen, die beiden "Minuspole" zu verbinden?
Einfach verbinden

Masse wird eigentlich immer verbunden. Das passiert ja genauso wenn Du z.B. einen Monitor mit eigenem Netzteil an einen Computer mit eigenem Netzteil anschließt. Oder beim Verbinden von Komponenten einer HiFi Anlage oder...
Potentialtechnisch dürfte eigentlich kein Unterschied bestehen
Jain. Niederspannungsgeräte haben ja fast immer ein Netzteil mit galvanischer Trennung. D.h. deren Masse-Potential ist (wenn es nicht extra geerdet wird) nicht genau definiert. Genau deswegen wird ja GND von allen Geräten verbunden, damit alle das gleiche Masse-Potential haben. Probleme damit gibt es nur, wenn es sich um geerdete Geräte handelt, wo dann ggf. eben nicht überall das gleiche Potential herrscht. Das ist z.B. bei typischen 'Übertragungsleitungen' (wie z.B. RS232 o.ä.) der Fall, wenn die Leitungen recht lang sind und dann ein Gerät im Keller ein anderes Potetial hat wie das Gerät in einem anderen Zimmer.
Stichwort Erdschleife. Siehe z.B.:
http://de.wikipedia.org/wiki/Erdschleife
Muss da dann nicht notgedrungen auch einiges von dem großen LED-Strom über den Raspberry abflißen?
Nein. Warum auch? Das könnte ja nur dann passieren, wenn eben die Masse-Potentiale nicht verbunden sind. Zwischen gleichem Potential fließt kein Strom

Hat der Raspberry Pi eigentlich ein eigenes Netzteil? Oder soll alles (LEDs und Raspberry Pi) von einem Netzteil versorgt werden? Im letzteren Fall wäre Masse ja am Netzteil sowieso verbunden...